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精英家教网如图,已知直线l经过点D(-1,4),与x轴的负半轴和y轴的正半轴分别交于A,B两点,且直角△AOB的内切圆的面积为π,求直线l对应的一次函数的表达式.
分析:要求直线l对应的一次函数的表达式,由直线l经过点D(-1,4),根据待定系数法,只需求出此直线上另外一点F的坐标即可.设直角△AOB的内切圆⊙M与OA、OB、AB分别切于点G、E、F.先由直角△AOB的内切圆的面积为π,得出其内切圆面积为1,易证四边形OGME是正方形,得出点G的坐标为(-1,0).再延长GM交AB于N,证明点N与点D重合.然后过点F作FP⊥OB于P,交GN于H.分别解RT△MNF和RT△HNF,求出点F的坐标.
解答:精英家教网解:设直角△AOB的内切圆⊙M与OA、OB、AB分别切于点G、E、F,则∠MGO=∠MFB=∠OEM=90°.
∵⊙M的面积为π,
∴π×ME2=π,
∴ME=1.
∵∠MGO=∠GOE=∠OEM=90°,MG=ME,
∴四边形OGME是正方形,
∴OG=1,点G的坐标为(-1,0).
延长GM交AB于N,则NG⊥OA,
∴N点横坐标与G点横坐标相同,是-1,
又∵直线AB经过点D(-1,4),
∴点N与点D重合.
∴MN=NG-MG=4-1=3.
在RT△MNF中,MN=3,MF=1,
由勾股定理,可知FN=2
2

∴sin∠FNM=
1
3
,tan∠FNM=
1
2
2
=
2
4

过点F作FP⊥OB于P,交GN于H,则FP=FH+HP=FH+ME=FH+1,HG=HM+MG=HM+1.
在Rt△HNF中,∠FHN=90°,FN=2
2
,sin∠FNH=
1
3

∴FH=FN•sin∠FNH=
2
2
3

∴FP=
2
2
3
+1=
2
2
+3
3

在RT△MHF中,∠FHN=90°,FH=
2
2
3
,tan∠MFH=tan∠FNM=
2
4

∴HM=FH•tan∠MFH=
2
2
3
×
2
4
=
1
3

∴HG=
1
3
+1=
4
3

∴点F的坐标为(-
2
2
+3
3
4
3
).
设直线l的解析式为y=kx+b.
∵直线l经过点D(-1,4),点F(-
2
2
+3
3
4
3
),
-k+b=4
-
2
2
+3
3
k+b=
4
3

解得
k=2
2
b=4+2
2

故所求直线l的解析式为y=2
2
x+4+2
2
点评:本题主要考查了直角三角形内切圆半径的求法,切线的性质,正方形的判定与性质,解直角三角形及运用待定系数法求一次函数的解析式,综合性较强,有一定难度.
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如图,已知直线l经过点A(1,0),与双曲线y=
m
x
(x>0)交于点B(2,1).过点P(p,p-1)(p>1精英家教网)作x轴的平行线分别交双曲线y=
m
x
(x>0)和y=-
m
x
(x<0)于点M、N.
(1)求m的值和直线l的解析式;
(2)若点P在直线y=2上,求证:△PMB∽△PNA;
(3)是否存在实数p,使得S△AMN=4S△AMP?若存在,请求出所有满足条件的p的值;若不存在,请说明理由.

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(x>0)和y=-
m
x
(x<0)于点M、N.
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(1)求m的值和直线l的解析式;
(2)若点P在直线y=2上,求证:△PMB∽△PNA;
(3)是否存在实数p,使得S△AMN=4S△AMP?若存在,请求出所有满足条件的p的值;若不存在,请说明理由。

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