Question

8．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ACD=∠D，AE平分∠CAD，下列说法：①AB∥CD；②AE⊥CD；③S_△AEF=S_△BCF；④∠AFB=∠BAD-∠ABE，其中正确的结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据∠ABC=∠D，AD∥BC得出平行四边形ABCD，即可推出AB∥CD；根据等腰三角形性质求出AE⊥CD，然后根据平行线的性质即可推出AE⊥AB；根据等底等高的三角形面积相等即可推出S_△ABE=S_△ABC，可得S_△AEF=S_△BCF；根据∠CFE+∠BEC+∠ACD=180°，∠BAD+∠D=180°，∠D=∠ACD，即可推出∠CFE+∠BEC=∠BAD；

解答 解：∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，∠D+∠BCD=180°，
∵∠ABC=∠D，
∴∠BAD=∠BCD，
∵∠ABC=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，故①正确，
∵∠D=∠ACD，AE平分∠CAD，
∴AE⊥CD，故②正确，
∵S_△ABE=S_△ABC=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}，
∴S_△AEF=S_△BCF，故③正确，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC，
∵∠AFB=∠EFC，
∴∠AFB+∠ABE=∠CFE+∠BEC，
∵∠CFE+∠BEC+∠ACD=180°，∠BAD+∠D=180°，∠D=∠ACD，
∴∠CFE+∠BEC=∠BAD，即∠AFB=∠BAD-∠ABE，故④正确，
∴①②③④正确，
故选D．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质，三角形的面积的应用，关键是推出AB∥CD．