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    (1)探究新知：

    ①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点．

    求证：△ABM与△ABN的面积相等．

    ②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．

    (2)结论应用：

    如图③，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点D．试探究在抛物线y＝ax2＋bx＋c上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．

    ﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚

    答案：
    解析：

    　　(1)①证明：分别过点M，N作ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F．

    　　∵AD∥BC，AD＝BC，

    　　∴四边形ABCD为平行四边形．

    　　∴AB∥CD．

    　　∴ME＝NF．

    　　∵S△ABM＝，S△ABN＝，

    　　∴S△ABM＝S△ABN．1分

    　　②相等．理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K．

    　　则∠DHA＝∠EKB＝90°．

    　　∵AD∥BE，

    　　∴∠DAH＝∠EBK．

    　　∵AD＝BE，

    　　∴△DAH≌△EBK．

    　　∴DH＝EK．2分

    　　∵CD∥AB∥EF，

    　　∴S△ABM＝，S△ABG＝，

    　　∴S△ABM＝S△ABG　3分

    　　(2)答：存在．　4分

    　　解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为

    　　又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得，解得

    　　∴该抛物线的表达式为，即．5分

    　　∴D点坐标为(0，3)．

    　　设直线AD的表达式为，代入点A的坐标，得，解得．

    　　∴直线AD的表达式为．

    　　过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为．

    　　∴CH＝CG－HG＝4－2＝2．6分

    　　设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为．

    　　过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为，EF∥CG．

    　　由(1)可知：若EP＝CH，则△ADE与△ADC的面积相等．

    　　①若E点在直线AD的上方(如图③)，

    　　则PF＝，EF＝．

    　　∴EP＝EF－PF＝＝．

    　　∴．

    　　解得，．7分

    　　当时，PF＝3－2＝1，EF＝1＋2＝3．

    　　∴E点坐标为(2，3)．

    　　同理当m＝1时，E点坐标为(1，4)，与C点重合．8分

    　　②若E点在直线AD的下方(如图④，⑤)，

    则．9分

    　　∴．解得，．10分

    　　当时，E点的纵坐标为；

    　　当时，E点的纵坐标为．

    　　∴在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1(2，3)；；．12分

    　　(其他解法可酌情处理)


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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
    （2）结论应用：
    ①如图2，点M，N在反比例函数y=
    kx
    （k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F，试证明：MN∥EF；
    ②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）探究新知：
    如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
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    （2）结论应用：
    ①如图2，点M，N在反比例函数y=
    kx
    （k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．
    试证明：MN∥EF．
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    （1）探究新知：
    ①如图1，已知AD∥BC，AD=BC，点M，N是直线CD上任意两点．
    求证：△ABM与△ABN的面积相等．
    ②如图2，已知AD∥BE，AD=BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点，试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．
    （2）结论应用：
    如图3，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D，试探究在抛物线y=ax2+bx+c上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•日照）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．
    （Ⅰ）探究新知
    如图①，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．
    （1）求证：内切圆的半径r1=1； 
    （2）求tan∠OAG的值；
    （Ⅱ）结论应用
    （1）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2的值；
    （2）如图③，若半径为rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、…、⊙On均与AB相切，求rn的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•河北一模）（1）探究新知：
    ①如图1，已知AD∥BC，AD=BC，点M，N是直线CD上任意两点．则S△ABM
    =
    =
    S△ABN（填“＜”，“=”，“＞”）．
    ②如图2，已知AD∥BE，AD=BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．
    （2）结论应用：
    如图3，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线y=ax2+bx+c上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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