Question

已知：如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=7，点P是AD边上一个动点，PE⊥PC，PE交AB于点E，对应点E也随之在AB上运动，连接EC．
（1）若△PEC是等腰三角形，求PD的长；
（2）当∠PEC=30°时，求AP的长．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AD=BC=7，DC=AB=4．
∴∠APE+∠AEP=90°，
∵PE⊥PC，
∴∠EPC=90°，
∴∠APE+∠DPC=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴△AEP∽△DPC，
∴，
∵△PEC是等腰三角形，∠EPC=90°，
∴PE=CP，
∴AP=DC=4，
∴PD=AD-AP=3；

（2）设PD=x，则AP=7-x，
∵，
∴，
在△CPE中，∠EPC=90°，∠PEC=30°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
分析：（1）可证明△AEP∽△DPC，则，又因为△PEC是等腰三角形，则PE=CP，AP=DC=4，从而得出PD；
（2）设PD=x，则AP=7-x，由（1）得出比例式，即可求出x，进而得出AP的长．
点评：本题是一道综合性的题目，考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰三角形的性质以及解直角三角形等有关知识的综合运用．