Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（6，8），点D坐标为（9，0），过B作BA⊥x轴于点A，作BC⊥y轴于点C，点P沿OC自点O向点C运动，同时点Q沿OA向点A运动，点Q与点P的速度之比为1：n，连接PB、PQ．
（1）求经过C、B、D三点的抛物线；
（2）当n=______时，∠OPQ=30°；当n=______时，∠OPQ=45°；当n=______时，∠OPQ=60°；
（3）若存在PB⊥PQ，试求OQ的取值范围；
（4）点M为四边形OABC边上的某点，请求出能使△MBD为等腰三角形的点M的坐标．

Answer 1

解：（1）设经过C、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵点B的坐标为（6，8），
B作BA⊥x轴于点A，作BC⊥y轴于点C，
∴四边形BCOA是矩形，
∴OC=AB=8，
∴C的坐标是（0，8），
∵点D坐标为（9，0），
∴，
解得：，
故经过C、B、D三点的抛物线的解析式是y=-x2+x+8；

（2）若使∠OPQ=30°，即tan∠OPQ==，
则=，
解得n=，
若使∠OPQ=45°，则OP=OQ，
则n=1，
若使∠OPQ=60°，tan∠OPQ==，
则=，
解得n=，
故答案为：，1，；

（3）若存在PB⊥PQ，则∠BPQ=90°，
∵∠C=∠POQ=90°，
∴∠CPB+∠CBP=90°，∠CPB+∠OPQ=90°，
∴∠CBP=∠OPQ，
∴△BCP∽△PBQ，
∴，
设OQ=x，则有PO=xn，
∴，
化简得：xn²-8n+6=0，
∵△=（-8）2-4•x•6≥0，
∴x≤，
∵OQ=x是线段的长度，
∴0＜OQ≤；

（4）①当DB=DM时，以D为圆心，DB为半径作圆D，交矩形OA边于M₁，求得M₁的坐标为（9-，0）；
②BM=DM时，以B为圆心，以BD为半径作圆B，交OA边于M₂，交OC边于M₃，由勾股定理得：M₂的坐标为（3，0），M₃的坐标为（0，8-）；
③MA=MB时，作BD垂直平分线分别交矩形AB边M4，交OC边于M5，由勾股定理得M₄的坐标为（6，），M₅的坐标为（0，）；
综上所述符合条件要求的M有五个点，它们的坐标分别是（9-，0）、（3，0）、（0，8-）、（6，）、（0，）．
分析：（1）设经过C、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据已知条件可求出C的坐标为（0，8），把C，D，B的坐标分别代入求出a，b，c的值即可；
（2）若使∠OPQ=30°则由30°角的锐角三角函数值即可求出n的值，45°，60°思路类同；
（3）若存在PB⊥PQ，则△BCP∽△PBQ，设OQ=x，则有PO=xn，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的一元二次方程，令根的判别式△≥即可求出x的取值范围，即OQ的取值范围；
（4）因为等腰三角形MBD的腰和底确定，所以要分三种情况讨论①DB=DM时；②BM=DM时；③MA=MB时分别求出符合题意M的坐标即可．
点评：本题综合性考查了用待定系数法求二次函数的解析式、特殊角的锐角三角函数值、相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质和数学分类讨论思想的运用，题目具有很强的综合性，难度不小．