Question

如图，小明做出了边长为1的第1个正△A₁B₁C₁，算出了正△A₁B₁C₁的面积．然后分别取△A₁B₁C₁的三边中点A₁，B₁，C₁，做出了第2个正△A₂B₂C₂，算出了正△A₂B₂C₂的面积．用同样的方程，做出了第3个正△A₃B₃C₃，算出了第3个正△A₃B₃C₃的面积，由此可得，第n个正△A_nB_nC_n的面积是（　　）

• A．

  3

  4

  ×(

  1

  4

  )n-1
• B．

  3

  4

  ×(

  1

  4

  )n
• C．

  3

  4

  ×(

  1

  2

  )n-1
• D．

  3

  4

  ×(

  1

  2

  )n

Answer 1

分析：根据相似三角形的性质，先求出正△A₂B₂C₂，正△A₃B₃C₃的面积，依此类推△A_nB_nC_n的面积是面积

3

4

×（

1

4

）^n-1．

解答：解：正△A₁B₁C₁的面积是

3

4

，
而△A₂B₂C₂与△A₁B₁C₁相似，并且相似比是1：2，
则面积的比是

1

4

，则正△A₂B₂C₂的面积是

3

4

×

1

4

，
因而正△A₃B₃C₃与正△A₂B₂C₂的面积的比也是

1

4

，即面积是

3

4

× (

1

4

)2；
依此类推，△A_nB_nC_n与△A_n-1B_n-1C_n-1的面积的比是

1

4

，即第n个三角形的面积

3

4

×（

1

4

）^n-1．
故选A．

点评：本题考查了相似三角形的性质及判定、等边三角形的性质、三角形的中位线定理，相似三角形面积的比等于相似比的平方，找出规律是关键．