Question

正整数p、q都大于1，且

2p-1

q

和

2q-1

p

都是整数，则p+q=

 

．

Answer 1

分析：由已知，可以运用假设法，如设（2q-1）/p＞=2，（2p-1）/q＞=2，则2q-1＞=2p，2p-1＞=2q，两式相加得 2p+2q-2＞=2p+2q． 显然矛盾…通过推理论证求出p  q的值．

解答：解：若（2q-1）/p＞=2，（2p-1）/q＞=2，则2q-1＞=2p，2p-1＞=2q，
两式相加得 2p+2q-2＞=2p+2q． 显然矛盾，
故（2q-1）/p，（2p-1）/q至少有一个小于2．
设（2q-1）/p＜2 因为（2q-1）/p是整数，且p＞1 q＞1，则（2q-1）/p=1，即2q-1=p．
又（2p-1）/q=（4q-3）/q是整数，
即4-（3/q）是整数，所以q=1或q=3．
又q＞1，则q=3 p=5
则q+p=8．

点评：此题主要考查学生分析、论证问题的能力及要求学生掌握好数的整除性且运用好．