Question

已知二次函数的图象经过点（1，0），和（-3，0），反比例函数（x＞0）的图象经过点（1，2）．
（1）求这两个二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这两个函数的图象；
（2）若反比例函数（x＞0）的图象与二次函数的图象在第一象限内交于点A（x₀，y₀），x₀落在两个相邻的正整数之间．请你观察图象写出这两个相邻的正整数；
（3）若反比例函数（k＞0，x＞0））的图象与二次函数的图象在第一象限内的交点为A，点A的横坐标x₀满足2＜x₀＜3，试求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）把（1，0），和（-3，0）分别代入
解方程组，得 ．…（1分）
∴抛物线解析式为

∵反比例函数的图象经过点（1，2），
∴k=2．∴…．

（2）正确的画出二次函数和反比例函数在第一象限内的图象

 由图象可知，这两个相邻的正整数为1与2．
（3）由函数图象或函数性质可知：当2＜x＜3时，对y=，
y随着x的增大而增大，对y₂=（k＞0），y₂随着x的增大而减小．
因为A（x₀，y₀）为二次函数图象与反比例函数图象的交点，
所以当x₀=2时，由反比例函数图象在二次函数的图象上方，
得y₂＞y．
即＞，
解得k＞5．

同理，当x₀=3时，由二次函数的图象在反比例函数图象上方的，
得y＞y₂，
即＞，
解得k＜18．
所以k的取值范围为5＜k＜18．

分析：（1）把（1，0），和（-3，0）分别代入函数关系式得到方程组，解方程组，得 ，所以抛物线解析式为；根据反比例函数的图象经过点（1，2），求得k=2．进而求得函数的解析式；
（2）观察函数的图象可以得到相邻的两个正整数为1和2；
（3）由函数图象或函数性质可知两个函数的增减性．所以当x₀=2时，反比例函数图象在二次函数的图象上方，得y₂＞y并由此解得k的取值范围，二次函数的图象在反比例函数图象上方的，得y＞y₂，并由此也可以求得k的取值范围，从而得到k完整的取值范围．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，解题的关键是结合函数的图象得到不等式，并据此求得k的取值范围．