Question

6．按如图方式折叠长方形纸片ABCD，使顶点A、C重合（图中点D落在点D′处，E，F分别是折痕与BC，AD的交点），已知AB=3，BC=9，求BE及折痕EF的长．

Answer 1

分析 根据翻折变换的性质可得AE=CE，设BE=x，表示出AE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解，即可得出BE长；再作EG⊥AD于G，根据勾股定理，即可得出折痕EF的长．

解答 解：∵矩形纸片ABCD折叠C点与A点重合，
∴AE=CE，
设BE=x，则AE=8-x=CE，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，
AB²+BE²=AE²，
即3²+x²=（9-x）²，
解得x=4，
即BE=4，AE=5．
如图，过点E作EG⊥AD于G，
由折叠得，∠AEF=∠CEF，
又∵∠CEF=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF=5，
∵∠B=∠BAG=∠AGE=90°，
∴四边形ABEG是矩形，
∴EG=AB=3，BE=AG=4，
∴GF=AF-AG=5-4=1，
∴Rt△EFG中，EF=$\sqrt{G{F}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质，主要利用了翻折前后的重叠的边，重叠的角都相等，难点在于利用勾股定理列出方程．