练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图1，已知C、D是双曲线y=
    m
    x
    在第一象限内的分支上两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B，CG⊥x轴于G，DH⊥x轴于H，
    OG
    GC
    =
    DH
    OH
    =
    1
    4
    ，OC=
    		17
    ．
    （1）求m的值和D点的坐标；
    （2）在双曲线第一象限内的分支上是否有一点P，使得S△POC=S△POD？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
    （3）如图2，点K是双曲线y=
    m
    x
    在第三象限内的分支上的一动点，过点K作KM⊥y轴于M，OE平分∠KOA，KE⊥OE，KE交y轴于N，直线ME交x轴于F，①
    OF2+MN2
    ON2
    ，②
    OF+MN
    ON
    ，有一个为定值，请你选择正确结论并求出这个定值．
    分析：（1）设OG=a，GC=4a．在直角三角形OGC中根据勾股定理求得a的值，从而求得点C的坐标；然后利用待定系数法求得m值；最后利用反比例函数图象上点的坐标特征求得点D的坐标；
    （2）过P作PM⊥OC，PN⊥OD．由三角形面积的等积转换推知PM=PN，根据角平分线的性质证得P在∠COD的角平分线上；然后通过全等三角形Rt△OGC≌Rt△DHO（HL）的对应角∠OCG=∠DOH、平行线的性质、等量代换推得PO平分∠BOA；最后由反比例函数图象上点的坐标特征可以求得点P（a，a）的坐标为（2，2）；
    （3）结论①对，
    OF2+MN2
    ON2
    =1    ；如图2，如图2，延长OE、KM交于Q，连接NQ．根据角平分线的性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质推知KQ=KO、OE=EQ，即KE是OQ中垂线，所以
    ON=QN，易证△OEF≌△QEM，由全等三角形的对应边相等知MQ=OF；最后在Rt△MNQ中，根据勾股定理求得QN2=MQ2+MN2，即ON2=OF2+MN2．
    解答：解：（1）∵
    OG
    GC
    =
    1
    4
    （已知），
    ∴设OG=a，GC=4a
    ∵OG2+GC2=OC2（勾股定理），OC=
    		17
    ，
    ∴a2+(4a)2=(
    		17
    )2
    ∴a2=1
    ∵a＞0，
    ∴a=1，
    ∴OG=1，GC=4，
    ∴C（1，4）；
    把 C（1，4）代入y=
    m
    x
    得：m=1×4=4，即m=4；
    ∵
    DH
    OH
    =
    1
    4
    （已知）
    ∴设DH=b，OH=4b，
    ∴D（4b，b），
    把D（4b，b）代入y=
    4
    x
    得：4b2=4b=1
    ∵b＞0，∴b=1
    ∴DH=1，OH=4，
    ∴D（4，1）；

    （2）在双曲线第一象限内的分支上有一点P，使得S△POC=S△POD．
    理由如下：由（1）知，C（1，4）、D（4，1），
    ∴DO=CO=
    		17
    （勾股定理）．
    如图1，过P作PM⊥OC，PN⊥OD，
    要使S△POC=S△POD
    ∴PM=PN，
    ∴P在∠COD的角平分线上；
    在Rt△OGC和Rt△DHO中，
    ∵
    OC=OD
    CG=OH
    ，
    ∴Rt△OGC≌Rt△DHO（HL），
    ∴∠OCG=∠DOH（全等三角形的对应角相等）；
    又∵CG∥BO，
    ∴∠OCG=∠BOC（两直线平行，内错角相等），
    ∴∠BOC=∠DOH（等量代换），即PO平分∠BOA，
    ∴∠POA=45°．  
    过P作PQ⊥x轴于点Q，则PQ=OQ．
    故设P（a，a）（a＞0），则a=
    m
    a
    =
    4
    a
    ，
    解得，a=2，
    ∴点P的坐标为（2，2）；

    （3）结论①对，
    OF2+MN2
    ON2
    =1    ；
    证明如下：如图2，延长OE、KM交于Q，连接NQ．∵KM⊥y轴，
    ∴KM∥OF，
    ∴∠KQO=∠FOQ，
    又∵OE平分∠KOA，
    ∴∠KQO=∠FOQ=∠KOQ（等量代换），
    ∴KQ=KO、OE=EQ
    即KE是OQ中垂线，
    ∴ON=QN，
    易证△OEF≌△QEM，
    ∴MQ=OF，
    在Rt△MNQ中，QN2=MQ2+MN2，
    即ON2=OF2+MN2
    OF2+MN2
    ON2
    =1    ．
    点评：本题考查了反比例函数综合题．解题时，还借用了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    29、如图1，已知平行四边形PQRS是⊙O的内接四边形．
    （1）求证：平行四边形PQRS是矩形．
    （2）如图2，如果将题目中的⊙O改为边长为a的正方形ABCD，在AB、CD上分别取点P、S，连接PS，将Rt△SAP绕正方形中心O旋转180°得Rt△QCR，从而得四边形PQRS．试判断四边形RQRS能否变化成矩形？若能，设PA=x，SA=y，请说明x、y具有什么关系时，四边形PQRS是矩形；若不能，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    24、有这样一道习题：如图1，已知OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点（不与O、A重合），BP的延长线交⊙O于Q，过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R．说明：RP=RQ．
    请探究下列变化：
    变化一：交换题设与结论．
    已知：如图1，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点（不与O、A重合），BP的延长线交⊙O于Q，R是OA的延长线上一点，且RP=RQ．
    求证：RQ为⊙O的切线．
    变化二：运动探究：
    （1）如图2，若OA向上平移，变化一中的结论还成立吗？（只需交待判断）
    （2）如图3，如果P在OA的延长线上时，BP交⊙O于Q，过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，原题中的结论还成立吗？为什么？
    （3）若OA所在的直线向上平移且与⊙O无公共点，请你根据原题中的条件完成图4，并判断结论是否还成立？（只需交待判断）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，已知OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点（不与O、A重合），BP的延长线交⊙O于Q，过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R．说明：RP=RQ．运动探求．
    （1）如图2，若OA向上平移，变化一中的结论还成立吗？（只需交待判断） 答：
    成立
    成立
    ．
    （2）如图3，如果P在OA的延长线上时，BP交⊙O于Q，过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，原题中的结论还成立吗？为什么？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•南京二模）在?ABCD中，AD=6，∠ABC=60°，点E在边BC上，过点E作直线EF⊥AB，垂足为点F，EF与DC的延长线相交于点H．
    （1）如图1，已知点E是BC的中点，求证：以E为圆心、EF为半径的圆与直线CD相切；
    （2）如图2，已知点E不是BC的中点，连接BH、CF，求梯形BHCF的面积．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案