Question

阅读下面材料：
问题：如图①，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．

小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．
（1）请你回答：图中BD的长为______；
（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．

Answer 1

解：（1）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，
∴△ADC≌△AEC，
∴∠DCA=∠ECA，DC=EC，∠DAC=∠CAE，
∵∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，∠DAE=∠DAC+∠CAE=2∠DAC，
∴∠ECD=∠ECA+∠DCA=90°，∠BAD=∠DAE，
∴DE==2，
∵∠ADB=∠DAC+∠ACD=22.5°+45°=67.5°，
∴∠ADE=180°-∠ADB-∠EDC=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠ADB=∠ADE，
在△BAD和△EAD中，
∵，
∴△BAD≌△EAD（ASA），
∴BD=DE=2；

（2）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，
∴△ADC≌△AEC，
∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA，DC=EC，
∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°，
∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴DC=DE，
在AE上截取AF=AB，连接DF，
∵AD是公共边，
∴△ABD≌△AFD，
∴BD=DF，
在△ABD中，∠ADB=∠DAC+∠DCA=45°，
∴∠ADE=∠AED=75°，∠ABD=105°，
∴∠AFD=105°，
∴∠DFE=75°，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DF=DE，
∴BD=DC=2，
作BG⊥AD于点G，
∴在Rt△BDG中，BG=BD•sin∠ADB=2×=，
∴在Rt△ABG中，AB=2BG=2．
故答案为：2．
分析：（1）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，可得△ADC≌△AEC，又∠DCA=45°，即可得△CDE是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出BD的长；
（2）同理把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，可得△ADC≌△AEC，又由∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，易证得△CDE为等边三角形，则DE的长，然后在AE上截取AF=AB，连接DF，可证得△ABD≌△AFD，即可得BD=DF，然后由角的关系，求得∠DFE=∠DEF=75°，根据等边对等角的性质，即可得BD=DE，即可求得BD的长；再作BG⊥AD于点G，可得△BDG是等腰直角三角形，即可求得BG的长，又由∠BAD=30°，即可求得AB的长．
点评：此题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是根据题意作出辅助线；注意数形结合思想的应用．