Question

如图，⊙O经过点B、D、E，BD是⊙O的直径，∠C=90°，BE平分∠ABC．
（1）△BDE的形状是

 

；理由是

 

；
（2）试说明直线AC是⊙O的切线；
（3）当AE=4，AD=2时，求⊙0半径及BC的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据圆周角定理求出∠DEB=90°，根据直角三角形的判定推出即可；
（2）连接OE，根据∠OEB=∠OBE和∠CBE=∠ABE推出∠OEB=∠CBE，得出OE∥BC，得出∠OEA=90°，根据切线的判定判断即可；
（3）根据切割线定理求出AB，求出BC、OD、OE、OB，根据解直角三角形得出sinA=

OE

AO

=

BC

AB

，代入求出即可．

解答：（1）解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴△BDE的形状是直角三角形，
故答案为：直角三角形，直径所对的圆周角是直角．

（2）证明：连接OE，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∴∠CBE=∠OEB，
∴OE∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠OEA=∠C=90°，
∴OE⊥AC，
∵OE是半径，
∴AC是⊙O的切线．

（3）解：∵AC是⊙O的切线，ADB是⊙O的割线，
∴由切割线定理得：AE²=AD×AB，
∴4²=2AB，
∴AB=8，
∴BD=8-2=6，
∴OE=OB=OD=3，AO=3+2=5，
∵∠AEO=∠C=90°，
∴sinA=

OE

AO

=

BC

AB

，
∴

3

5

=

BC

8

，
∴BC=

24

5

．

点评：本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理、切割线定理等知识点，解（2）的关键是求出∠OEA=90°，解（3）的关键是求出各个线段的长，题目比较好，综合性比较强．