Question

1．若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根为x₁，x₁，则x₁，x₁与a，
b，c之间存在下列关系：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．请根据该材料进行解答：
（1）x₁，x₂是一元二次方程x²+x-3=0的两根，则
①x₁+x₂=-1；
②x₁•x₂=-3；
③$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=3；
④x₁²+x₂²=7．
（2）关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²-2=0的两个实数根为x₁，x₂，且两根的平方和等于11，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据根与系数的关系即可得到结论；
（2）根据根与系数的关系即可得到结论．

解答 解：（1）①x₁+x₂=-1；
②x₁•x₂=-3；
③$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=3；
④x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1+6=7；
故答案为：-1，-3，3，7；
（2）∵x²+（2k+1）x+k²-2=0有两个实数根，
∴△=（2k+1）²-4（k²-2）=4k+9≥0，
∴k≥-$\frac{9}{4}$，
∵x²+（2k+1）x+k²-2=0的两个实数根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-（2k+1），x₁•x₂=k²-2，
∵x₁²+x₂²=11，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（2k+1）²-2（k²-2）=11，
解得：k₁=-3，k₂=1，
∵k≥-$\frac{9}{4}$，
∴k=1．

点评 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），若方程有解时，设方程的两解分别为x₁、x₂，则有x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．