Question

7．现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．
（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是OM=ON；
（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线的交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？请说理证明．
（4）如图4是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说理）

Answer 1

分析 （1）根据△OBM与△ODN全等，可以得出OM与ON相等的数量关系；
（2）连接AC、BD，则通过判定△BOM≌△CON，可以得到OM=ON；
（3）过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，可以通过判定△MOE≌△NOF，得出OE=OF，进而发现点O在∠C的平分线上；
（4）可以运用（3）中作辅助线的方法，判定三角形全等并得出结论．

解答 解：（1）若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是：OM=ON；
理由：∵四边形ABCD时正方形，
∴AB=AD，∠ADC=∠ABM=∠BAD=90°，
∵∠MON=90°，
∴∠BAM=∠DAN，
在△ABM和△ADN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠DAN}\\{AB=AD}\\{∠ABM=∠ADN}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△ADN，
∴OM=ON，
故答案为：OM=ON，

（2）仍成立．
证明：如图2，连接AC、BD，则
由正方形ABCD可得，∠BOC=90°，BO=CO，∠OBM=∠OCN=45°
∵∠MON=90°
∴∠BOM=∠CON
在△BOM和△CON中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OBM=∠OCN}\\{BO=CO}\\{∠BOM=∠CON}\end{array}\right.$
∴△BOM≌△CON（ASA）
∴OM=ON
（3）如图3，过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分别为E、F，则∠OEM=∠OFN=90°
又∵∠C=90°
∴∠EOF=90°=∠MON
∴∠MOE=∠NOF
在△MOE和△NOF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OEM=∠OFN}\\{∠MOE=∠NOF}\\{OM=ON}\end{array}\right.$
∴△MOE≌△NOF（AAS）
∴OE=OF
又∵OE⊥BC，OF⊥CD
∴点O在∠C的平分线上，
∵点O在正方形的内部（含边界）
∴O在移动过程中可形成线段AC

（4）如图4，过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分别为E、F，则∠OEM=∠OFN=90°
又∵∠C=90°
∴∠EOF=90°=∠MON
∴∠MOE=∠NOF
在△MOE和△NOF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OEM=∠OFN}\\{∠MOE=∠NOF}\\{OM=ON}\end{array}\right.$
∴△MOE≌△NOF（AAS）
∴OE=OF
又∵OE⊥BC，OF⊥CD
∴点O在∠C的平分线上，
∵点O在正方形外部，
∴O在移动过程中可形成直线AC中除去线段AC的部分．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．解题时需要运用全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理．