Question

阅读下列运算的推理过程，并解答问题．
①∵(

2

+1)(

2

-1)=(

2

)2-12=1，∴

1

2 +1

=

2

-1，
②∵(

3

+

2

)(

3

-

2

)=(

3

)2-(

2

)2=1，∴

1

3 + 2

=

3

-

2

，
③∵(

4

+

3

)(

4

-

3

)=(

4

)2-(

3

)2=1，∴

1

4 + 3

=

4

-

3

，
…
（1）依以上规律写出第④个运算的推理过程；
（2）用含字母n（n表示大于0的自然数）表示出题中运算的推理过程；
（3）利用题中规律计算下列式子的值：(

1

2 + 1

+

1

3 + 2

+

1

4 + 3

+…+

1

2007 + 2006

)(

2007

+1)的值．

Answer 1

分析：（1）依照规律直接写出运算的推理过程即可解答．
（2）根据所给特例，不难发现：

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

．
（3）根据这一性质即可化简，化简后再用平方差公式求值即可解答．

解答：解：（1）∵（

5

+

4

）（

5

-

4

）=（

5

）²-（

4

）²=1，∴

1

5 + 4

=

5

-

4

．
（2）

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

．
（3）原式=（

2

-1+

3

-

2

+…+

2007

-

2006

）（

2007

+1）
=（

2007

-1）（

2007

+1）
=2006．

点评：本题主要考查分母有理化的方法，找出规律是解答本题的关键．