Question

15．已知，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于E，交AC所在直线于P，若∠APE=54°，则∠B=72°或18°．

Answer 1

分析 根据题意画出符合条件的两种情况，推出AP=BP，推出∠BAC=∠ABP，求出∠BAC的度数和∠ABC的度数即可．

解答 解：分为两种情况：
①如图1，

∵PE是AB的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴∠A=∠ABP，∠APE=∠BPE=54°，
∴∠A=∠ABP=36°，
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=72°；
②如图2，

∵PE是AB的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴∠PAB=∠ABP，∠APE=∠BPE=54°，
∴∠PAB=∠ABP=36°，
∴∠BAC=144°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=18°，
故答案为：72°或18°．

点评 本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，注意：符合条件的有两种情况．