Question

已知一个两位数，其十位与个位数字分别为p、q，二次函数y=x²+qx+p的图象与x轴交于不同的两点A、B，顶点为C，且S_△ABC≤1，
（1）求q²-4p的取值范围；
（2）求出所有这样的两位数

.

pq

．

Answer 1

分析：（1）设出A、B的坐标，根据二次函数与x轴的交点横坐标是相应一元二次方程的解，利用一元二次方程根与系数的关系求出A、B两点的距离，再根据二次函数的顶点坐标公式求出顶点的纵坐标，利用以上条件表示出三角形的面积公式，进而得出q²-4p的取值范围；
（2）根据0＜q²-4p≤4，得出q²-4p=1，2，3，4，然后推出q²-4p=1，或q²-4p=4，从而推出

.

pq

的值．

解答：解：（1）设A（x₁，0），B（x₂，0），（x₁≠x₂），
则x₁、x₂是方程x²+qx+p=0的两个不同的实根，
所以x₁+x₂=-q，x₁x₂=p，q²-4p＞0，
又yc=

4p-q2

4

（y_c表示点C的纵坐标），所以
S_△ABC=

1

2

|x1-x2|•|yc|=

1

2

q2-4p

•|

4p-q2

4

|≤1，
从而（q²-4p）³≤64，q²-4p≤4，
故0＜q²-4p≤4；

（2）由（1）知，q²-4p=1，2，3，4，
因为q²被4除余数为0或1，
故q²-4p被4除余数也是0或1，
从而q²-4p=1，或q²-4p=4，
这两个方程中符合题意的整数解有：

p=2 q=3

，

p=6 q=5

，

p=3 q=4

，

p=8 q=6

．
故所有两位数

.

pq

为23，65，34，86．

点评：此题考查了二次函数的与一元二次方程的关系，带余数的除法及根的判别式，三角形的面积公式，涉及面较广，难度较大．