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(2010•常德)如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-4,0)和B(1,0)两点,与y轴交于C点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)设E是线段AB上的动点,作EF∥AC交BC于F,连接CE,当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时,求E点的坐标;
(3)若P为抛物线上A、C两点间的一个动点,过P作y轴的平行线,交AC于Q,当P点运动到什么位置时,线段PQ的值最大,并求此时P点的坐标.

【答案】分析:(1)将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,即可求出待定系数的值;
(2)根据抛物线的解析式可得出C点的坐标,易证得△ABC是直角三角形,则EF⊥BC;△CEF和△BEF同高,则面积比等于底边比,由此可得出CF=2BF;易证得△BEF∽△BAC,根据相似三角形的性质,即可求得BE、AB的比例关系,由此可求出E点坐标;
(3)PQ的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差,可设P点横坐标为m,用m表示出P、Q的纵坐标,然后可得出PQ的长与m的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出PQ最大时,m的值,也就能求出此时P点的坐标.
解答:解:(1)由题意,得:
解得
∴y=x2+x-2;

(2)由(1)知:C(0,-2);
则AC2=AO2+OC2=20,BC2=BO2+OC2=5;
而AB2=25=AC2+BC2
∴△ACB是直角三角形,且∠ACB=90°;
∵EF∥AC,
∴EF⊥BC;
∵S△CEF=2S△BEF
∴CF=2BF,BC=3BF;
∵EF∥AC,

∵AB=5,
∴BE=
OE=BE-OB=,故E(,0);

(3)设P点坐标为(m,m2+m-2);
已知A(-4,0),C(0,-2),
设直线AC的解析式为:
y=kx-2,
则有:-4k-2=0,k=-
∴直线AC的解析式为y=-x-2;
∴Q点坐标为(m,-m-2);
则PQ=-m-2-(m2+m-2)=-m2-2m;
∴当m=-2,即P(-2,-3)时,PQ最大,且最大值为2.
故当P运动到OA垂直平分线上时,PQ的值最大,此时P(-2,-3).
点评:此题考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定和性质、三角形面积的求法、相似三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识,综合性强,难度较大.
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