Question

现将连续自然数1至2009按图中的方式排列成一个长方形队列，再用正方形任意框出16个数．
（1）设任意一个这样的正方形框中的最小数为n，请用n的代数式表示该框中的16个数，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数中的最小数______和最大数______，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数的和______．（用n的代数式表示）
（2）在图中，要使一个正方形框出的16个数之和和分别等于832、2000、2008是否可能？若不可能，请说明理由；若可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．
（3）计算出该长方形队列中，共可框出多少个这样不同的正方形框？

Answer 1

解：（1）设左上角第一个数为n，根据相邻之间的关系可以得到下表：

其中最小数为n，最大数为n+24．
这16个数的和为16n+192=16（n+12）．

（2）设在（A）16（n+12）=832，n=40，∴存在最小为40，最大40+24=64
（B）16（n+12）=2000，n=113，∴存在最小为113，最大为137，
（C）16（n+12）=2008，n=113.5，∴不存在．

（3）设共有n行，
∵每行有7个数，
∴7n-6=2003，n=287，
后3行不能构成正方形，故287-3=284行，每行4个，
共284*4=1136．
故答案为：n，n+24，16（n+12），1136．
分析：（1）根据正方形框中数字左右相邻时相差1，上下相邻时相差7可以得到以下图表．用n表示这16个的和=16n+192=16（n+12），
（2）这16个的和=16n+192=16（n+12），分别让16个数之和和分别等于832、2000、2008看n是否为整数，进而得出结论．
（3）根据图表可知，一个正方形共有16个数，上下左右是相邻的，则第一行中共有4个，倒数后3行不能得到，总共可以框出的行数是287-3=284，284*4=1136．
点评：通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．