Question

（2013•历城区一模）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=

3

，AB=6．在底边AB上有一动点E，满足∠DEQ=120°，EQ交射线DC于点F．
（1）求下底DC的长度；
（2）当点E是AB的中点时，求线段DF的长度；
（3）请计算射线EF经过点C时，AE的长度．

Answer 1

分析：（1）过B作BM⊥DC于M，得出四边形ADMB是矩形，求出BM、DM，求出CM即可；
（2）过E点作EG⊥DF，得出四边形ADGE是矩形，求出EG和DG，求出FG即可；
（3）过点B作BH⊥DC，过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，则BH=AD=

3

，求出CH=1，BC=2，设AE=x，则BE=6-x，在Rt△ADE中，DE=

AD2+AE2

=

3+x2

，在Rt△EFM中，EF=

(EB+BM)2+MF2

=

(6-x+1)2+( 3 )2

=

(7-x)2+3

，证△EDF∽△BCE，推出

2

3+x2

=

6-x

(7-x)2+3

，求出方程的解即可．

解答：解：（1）如图1，过B作BM⊥DC于M，
∵AB∥DC，∠A=90°，
∴∠A=∠D=∠BMD=90°，
∴四边形ADMB是矩形，
∴AB=DM=6，AD=BM=

3

，∠ABM=90°，
∵∠ABC=120°，
∴∠MBC=120°-90°=30°，
∴CM=BM•tan30°=

3

×

3

3

=1，
∴DC=6+1=7；

（2）如图2，过E点作EG⊥DF，
∵AB∥DC，∠A=90°，
∴∠A=∠ADG=∠DGE=90°，
∴四边形ADGE是矩形，
∵E是AB的中点，
∴DG=AE=3，
∴EG=AD=

3

，
∴∠DEG=60°，
∵∠DEF=120°，
∴tan60°=

GF

3

，
解得GF=3，
∴DF=6；

（3）如图3，过点B作BH⊥DC，过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，则BH=AD=

3

，
∵∠ABC=120°，AB∥CD，
∴∠BCH=60°，
∴CH=

BH

tan60°

=

3

3

=1，BC=

BH

sin60°

=

3

3 2

=2，
设AE=x，则BE=6-x，
在Rt△ADE中，DE=

AD2+AE2

=

3+x2

，
在Rt△EFM中，EF=

(EB+BM)2+MF2

=

(6-x+1)2+( 3 )2

=

(7-x)2+3

，
∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠BEC，
∵∠DEF=∠B=120°，
∴△EDF∽△BCE，
∴

BC

DE

=

BE

EF

，即

2

3+x2

=

6-x

(7-x)2+3

，
解得：x=2或5，
∴AE=2或5．

点评：本题考查了矩形性质和判定，梯形性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，有一定的难度．