Question

如图，已知矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，E在矩形ABCD的边AD上，点F在矩形ABCD的边BC上，且BF=5，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，BF的对应线段FB′交边AD于点G．

（1）判断△EFG是何种特殊三角形，并证明你的结论．
（2）在折叠过程中，不重叠部分（阴影图形）的周长之和p会发生变化吗？若不变化，请求出p的值；若变化，请说明理由．
（3）当△EFG是锐角三角形时，求AE的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用翻折变换的性质得出：∠1=∠3，2=∠3，则∠1=∠2，即可得出答案；
（2）利用翻折变换的性质得出AE=A′E，B′F=BF，AB′=AB′，即可得出答案；
（3）分别求出当B′F⊥AD时，则∠AGF=90°，以及当FB′经过点D时，分别得出AE的长，即可得出AE的取值范围．

解答：解：（1）△EFG是等腰三角形，
理由：根据题意得出：∠1=∠3，2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴EG=GF，
∴△EFG是等腰三角形；

（2）不变，
理由：根据翻折变换的性质得出：AE=A′E，B′F=BF，AB′=AB′，
∴阴影图形的周长之和p为：AB+CD+BC+AD=18；

（3）当B′F⊥AD时，则∠AGF=90°，
∴EG=FG=AB=3，
∵BF=5，
∴AE=2，
当FB′经过点D时，
则FD=

CD2+FC2

=

10

，
∴ED=

10

，
∴AE=AD=ED=

10

，
∴△EFG是锐角三角形时，AE的取值范围是：2＜AE≤6-

10

．

点评：此题主要考查了四边形综合应用以及翻折变换的性质和勾股定理等知识，利用极值法进行分类讨论得出AE的取值范围是解题关键．