Question

9．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点M、N分别在边AD和BC上，沿MN折叠四边形ABCD，使点A、B分别落在A₁、B₁处，得四边形A₁B₁NM，其中点B₁在DC上，过点M作ME⊥BC于点E，连接BB₁，给出下列结论：①∠MNB₁=∠ABB₁；②△MEN∽△BCB₁；③$\frac{MN}{B{B}_{1}}$的值为定值；④当B₁C=$\frac{1}{2}$DC时，AM=$\frac{17}{8}$，其中正确结论的序号是①②③．（把所有正确结论的序号都在填在横线上）

Answer 1

分析 由折叠可知∠MNB₁=∠BNM，MN⊥BB₁，再根据同角的余角相等的性质和等量关系即可判定①正确；根据AA可证△MEN∽△BCB₁，可判定②正确；
根据相似三角形的性质和等量关系可得$\frac{MN}{B{B}_{1}}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，为定值，可判定③正确；根据相似三角形的性质和勾股定理可得AM=BE=BN-NE=$\frac{17}{8}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{13}{8}$，可判定④不正确；从而求解．

解答 解：由折叠可知∠MNB₁=∠BNM，MN⊥BB₁，
∴∠BNM+∠B₁BN=90°，
∵∠ABB₁+∠B₁BN=90°，
∴∠BNM=∠ABB₁，
∴∠MNB₁=∠ABB₁，故①正确；
∵ME⊥BC，
∴∠MNE+∠NME=90°，
由由折叠的性质可得MN⊥BB₁，
∴∠MNE+∠B₁BN=90°，
∴∠NME=∠BB₁N，
∴△MEN∽△BCB₁，
故②正确；
由②可知$\frac{MN}{B{B}_{1}}$=$\frac{ME}{BC}$，
∵ME=AB=2，BC=4，
∴$\frac{MN}{B{B}_{1}}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，为定值，故③正确；
∵△MEN∽△BCB₁，
∴$\frac{NE}{{B}_{1}C}$=$\frac{ME}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴NE=$\frac{1}{2}$B₁C，
若B₁C=$\frac{1}{2}$DC，
则NE=$\frac{1}{4}$DC=$\frac{1}{4}$×2=$\frac{1}{2}$，
设BN=x，则NC=4-x，B₁N=x，
在Rt△B₁NC中，由勾股定理可得x²=（4-x）²+1²，
解得x=$\frac{17}{8}$，
∴AM=BE=BN-NE=$\frac{17}{8}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{13}{8}$，故④不正确．
故答案为：①②③．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解答本题主要应用了矩形的性质、翻折的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边和角是解题的关键．．