Question

如图所示，抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-l，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B。

（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，m+l）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连结BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标。

Answer 1

解：（1））∵抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0），C（0，4）两点
∴
解得
∴抛物线的解析式为y=-x²+3x+4；
（2））∵点D（m，m+1）在抛物线上
∴m+l=-m²+3m+4，即m²-2m-3=0
所以，m=-1或m=3
∵点D在第一象限
∴点D的坐标为（3，4）
由（1）知OC=OB
所以，∠CBA=45°
设点D关于直线BC的对称点为点M
∵C（0，4）
∴CD∥AB，且CD=3
∴∠MCB=∠DCB=45°
∴M点在y轴上，且CM=CD=3
∴OM=1
∴M（0，1）
即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；
（3）作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E
由（1）有：OB=OC=4
∴∠OBC=45°
∵∠DBP=45°
∴∠CBD=∠PBA
∵C（0，4），D（3，4）
∴CD∥OB且CD=3
∴∠DCE=∠CB0=45°
∴DE=CE=
∵OB=OC=4
∴BC=4
∴BE=BC-CE=
∴tan∠PBF=tan∠CBD=
设PF=3t，则BF=5t
∴OF=5t-4
∴P（-5t+4，3t）
∵P点在抛物线上
∴3t=-（-5t+4）²+3（-5t+4）+4
∴t=0（舍去）或t=
∴P（-，）。