Question

22、已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．
（1）求证：BE=DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点G，使OG=OA，连接EG、FG．判断四边形AEGF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质得出∠D=∠B=90°，AB=AD，根据HL证出Rt△ABE≌Rt△ADF即可；
（2）连接BD交AC于H，根据正方形的性质得出AC⊥BD，证EF⊥AC，根据等腰三角形的性质推出OE=OF即可．

解答：证明：（1）∵正方形ABCD，
∴∠D=∠B=90°，AB=AD=BC=CD，
∵AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF．

（2）四边形AEGF是菱形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），
BC=DC（正方形邻边相等），
∵BE=DF（已证），
∴BC-BE=DC-DF（等式的性质），
即CE=CF，
易得△COE≌△COF，
∴OE=OF，
∵OG=OA，
∴四边形AEGF是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵AE=AF，
∴平行四边形AEGF是菱形．

点评：本题主要考查对正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．