Question

4．定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AB=12，AM=3，求BN的长．
（2）如图②，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，BE=$\frac{1}{2}$BC，DF=$\frac{1}{3}$CD，AE、AF分别交BD于点M、N．
求证：M、N是线段BD的勾股分割点．
（3）如图3，点M、N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，△ABC、△MND分别是以AB、MN为斜边的等腰直角三角形，且点C与点D在AB的同侧，若MN=4，连接CD，则CD=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）分两种情况讨论：当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可．
（2）利用菱形ABCD，证明△AMD∽△EMB，得到$\frac{AD}{EB}$=$\frac{MD}{MB}$．BM=$\frac{1}{3}$BD，同理DN=$\frac{1}{4}$BD，再求出MN=$\frac{5}{12}$BD．由BM²+DN²=（$\frac{1}{3}$BD）²+（$\frac{1}{4}$BD）²=$\frac{25}{144}$BD²=（$\frac{5}{12}$BD）²=MN²．即可解答；
（3）连接CM、CN，将△ACM绕点C逆时针旋转90°得△CBF，将△CDM绕点C逆时针旋转90°得△CFE只要证明四边形EFDN是平行四边形以及MN=NF就可以了．

解答 解：（1）∵AB=12，AM=3，
∴BM=9，
设BN=x，由题意得3²+x²=（9-x）²，
∴x=4．
或3²+（9-x）²=x²，
∴x=5．
答：BN的长为4或5．
（2）∵菱形ABCD，
∴AB=BC=CD=DA，BC∥DA．
∴△AMD∽△EMB．
∴$\frac{AD}{EB}$=$\frac{MD}{MB}$．
∵BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴DM=2BM，
∴BM=$\frac{1}{3}$BD．
同理DN=$\frac{1}{4}$BD．
∴MN=BD-$\frac{1}{3}$BD-$\frac{1}{4}$BD=$\frac{5}{12}$BD．
∵BM²+DN²=（$\frac{1}{3}$BD）²+（$\frac{1}{4}$BD）²=$\frac{25}{144}$BD²=（$\frac{5}{12}$BD）²=MN²．
∴M、N是线段BD的勾股分割点．
（3）如图④中，连接CM、CN，将△ACM绕点C逆时针旋转90°得△CBF，将△CDM绕点C逆时针旋转90°得△CFE．
∵△ABC，△DMN都是等腰直角三角形，
∴∠DMN=∠A=45°，∠CBA=∠DNM=45°
∴DM∥AC，DN∥BC，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴EF∥BC，
∴EF∥C∥ND，
∵DM=DN=EF，
∴四边形EFND是平行四边形，
∴ED=NF，
由（1）可知MN=NF，
∴MN=ED，
在RT△CDE中，∵CD=CE，∠DCE=90°，
∴DE=$\sqrt{2}$CD，
∴MN=$\sqrt{2}$CD．
∵MN=4，
∴CD=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查勾股定理、相似三角形的判定和性质、菱形性质等知识，利用旋转法添加辅助线是解决问题的关键．