Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于C点，AC平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若AD=2，，求⊙O的半径R的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于C点，AB是⊙O的直径，∴OC⊥CD．
又∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠2=∠DAB．
又∠COB=2∠1=∠DAB，
∴AD∥OC，∴AD⊥CD．

（2）解：连接BC，则∠ACB=90°，
在△ADC和△ACB中∵∠1=∠2，∠3=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB．
∴=
∴R==．
分析：（1）连接OC，由题意得OC⊥CD．又因为AC平分∠DAB，则∠1=∠2=∠DAB．即可得出AD∥OC，则AD⊥CD；
（2）连接BC，则∠ACB=90°，可证明△ADC∽△ACB．则=，从而求得R．
点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，是中档题，难度不大．