Question

某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在⊙O₁和扇形O₂CD中，⊙O₁与O₂C、O₂D分别切于点A、B，已知∠CO₂D=60°，E、F是直线O₁O₂与⊙O₁、扇形O₂CD的两个交点，且EF=24cm，设⊙O₁的半径为xcm．
（1）用含x的代数式表示扇形O₂CD的半径；
（2）若⊙O₁和扇形O₂CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm²和0.06元/cm²，当⊙O₁的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？

Answer 1

【答案】分析：（1）连接O₁A．利用切线的性质知∠AO₂O₁=∠CO₂D=30°；然后在Rt△O₁AO₂中利用“30°角所对的直角边是斜边的一半”求得O₁O₂=2x；最后由图形中线段间的和差关系求得扇形O₂CD的半径FO₂为：EF-EO₁-O₁O₂=24-3x；
（2）设该玩具的制作成本为y元，则根据圆形的面积公式和扇形的面积公式列出y与x间的函数关系，然后利用二次函数的最值即可求得该玩具的最小制作成本．
解答：解：（1）连接O₁A．
∵⊙O₁与O₂C、O₂D分别切一点A、B
∴O₁A⊥O₂C，O₂E平分∠CO₂D，
∴∠AO₂O₁=∠CO₂D=30°，
∴在Rt△O₁AO₂中，O₁O₂=2AO₁=2x．
∴FO₂=EF-EO₁-O₁O₂=24-3x，即扇形O₂CD的半径为（24-3x）cm．

（2）设该玩具的制作成本为y元，则
y=0.45πx²+0.06×
=0.9πx²-7.2πx+28.8π
=0.9π（x-4）²+14.4π
所以当x-4=0，即x=4时，y的值最小．
答：当⊙O₁的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小．
点评：本题考查了切线的性质、扇形面积的计算、解直角三角形以及二次函数的最值．在利用二次函数求最值时，此题采用了配方法．