Question

如图，已知AB为⊙O的直径，EA为⊙O的切线，A为切点，D是EA上一点，且∠DBA=30°，DB交⊙O于点C，连接OC并延长交EA于点P．
（1）求证：OA=OP；
（2）若⊙O的半径为cm，求四边形OADC的面积．

Answer 1

解：（1）证明：∵OB=OC，∠DBA=30°，
∴∠OCB=∠DBA=30°，
∵∠POA为△BOC的外角，
∴∠POA=∠OCB+∠DBA=60°，
又∵EA切⊙O于点A，
∴∠PAO=90°，
∴∠APO=30°，
∴OA=OP；
（2）过O作OF⊥BC，交BC于点F，
在Rt△OBF中，OB=cm，∠B=30°，
∴OF=OB=cm，
根据勾股定理得：BF==cm，
∴BC=2BF=3cm，
∴S_△OBC=BC•OF=cm²，
在Rt△BAD中，∠DBA=30°，AB=2cm，
∴AD=AB•tan30°=2cm，
∴S_△BAD=AD•AB=×2×2=2cm²，
则S_{四边形OADC}=S_△BAD-S_△OBC=2-=cm²．
分析：（1）由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，由∠DBA=30°得到∠BCO=30°，再由∠AOC为三角形BOC的外角，利用外角性质求出∠AOP=60°，在直角三角形AOP中，得到∠OPA=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到OA为OP的一半，得证；
（2）过O作OF垂直于BC，交BC于点F，在直角三角形BOF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长，再利用勾股定理求出BF的长，得出BC的长，由BC乘以BC上的高OF除以2得到三角形BOC的面积，同理在直角三角形ABD中，由AB的长，利用锐角三角函数定义求出AD的长，求出三角形ABD的面积，用三角形ABD的面积减去三角形BOC的面积，即可得到四边形OADC的面积．
点评：此题考查了切线的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．