Question

【题目】如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=．

（1）求抛物线的对称轴和点P的坐标．

（2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）对称轴是直线x=-2，P点坐标为（﹣2，﹣1）；（2）存在，D1（﹣2，），D2（﹣2，2），D3（﹣2，1）；D4（﹣2，）．

【解析】

试题分析：（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得B点坐标，根据正切函数，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）根据勾股定理，可得AD2=1+m2，AB2=12+32=10，BD2=4+（m﹣3）2，根据勾股定理的逆定理，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

试题解析：（1）当x=0时，y=3，即B（0，3）．tan∠ABO===，AO=1，即A点坐标为（﹣1，3）．将A点坐标代入，得1﹣b+3=0，解得b=4．抛物线的解析式为y=x2+4x+3，y=（x+2）2﹣1，即P点坐标为（﹣2，﹣1）；（2）在抛物线的对称轴上存在这样的点D，使△ABD为直角三角形．设D点坐标为D（﹣2，m），因为A（﹣1，0），B（0，3）．由勾股定理，得AD2=1+m2，AB2=12+32=10，BD2=4+（m﹣3）2．①当AD2+AB2=BD2时，即1+m2+10=4+（m﹣3）2，解得m=，即D1（﹣2，）；②当AD2+BD2=AB2时，即1+m2+4+（m﹣3）2=10，解得m=2或m=1，即D2（﹣2，2），D3（﹣2，1）；③当AB2+BD2=AD2时，即10+4+（m﹣3）2=1+m2，解得m=，即D4（﹣2，），综上所述：在抛物线的对称轴上存在这样的点D，使△ABD为直角三角形．其坐标为D1（﹣2，），D2（﹣2，2），D3（﹣2，1）；D4（﹣2，）．