Question

如图，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于P点，NP平分∠MNQ．
（1）求证：NQ⊥PQ；
（2）若⊙O的半径R=3，NP=，求NQ的长．

Answer 1

（1）证明：连接OP．
∵直线PQ与⊙O相切于P点，
∴OP⊥PQ，
∵OP=ON，
∴∠OPN=∠ONP，
又∵NP平分∠MNQ，
∴∠OPN=∠PNQ，
∴OP∥NQ
∴NQ⊥PQ；

（2）解：连接MP．
∵MN是直径，
∴∠MPN=90°，
∴cos∠MNP===，
∴∠MNP=30°，
∴∠PNQ=30°，
∴直角△PNQ中，NQ=NP•cos30°=3×=．
分析：（1）连接OP，则OP⊥PQ，然后证明OP∥NQ即可；
（2）连接MP，在直角△MNP中，利用三角函数求得∠MNP的度数，即可求得∠PNQ的值，然后在直角△PNQ中利用三角函数即可求解．
点评：本题考查了切线的性质以及三角函数，正确利用三角函数求得∠MNP的度数是关键．