Question

20．问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S₁，△BND的面积为S₂．
（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2时，则S₁•S₂=12；
（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置，求S₁•S₂的值；
（3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．
（Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S₁•S₂的表达式（结果用a，b和α的三角函数表示）．
（Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S₁•S₂的表达式，不必写出解答过程．

Answer 1

分析 （1）首先证明△ADM，△BDN都是等边三角形，可得S₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•2²=$\sqrt{3}$，S₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（4）²=4$\sqrt{3}$，由此即可解决问题；
（2）如图2中，设AM=x，BN=y．首先证明△AMD∽△BDN，可得$\frac{AM}{BD}$=$\frac{AD}{BN}$，推出$\frac{x}{2}$=$\frac{4}{y}$，推出xy=8，由S₁=$\frac{1}{2}$•AD•AM•sin60°=$\sqrt{3}$x，S₂=$\frac{1}{2}$DB•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$y，可得S₁•S₂=$\sqrt{3}$x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$y=$\frac{3}{2}$xy=12；
（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，由S₁=$\frac{1}{2}$•AD•AM•sinα=$\frac{1}{2}$axsinα，S₂=$\frac{1}{2}$DB•BN•sinα=$\frac{1}{2}$bysinα，可得S₁•S₂=$\frac{1}{4}$（ab）²sin²α．
（Ⅱ）结论不变，证明方法类似；

解答 解：（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°，
∵DE∥BC，∠EDF=60°，
∴∠BND=∠EDF=60°，
∴∠BDN=∠ADM=60°，
∴△ADM，△BDN都是等边三角形，
∴S₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•2²=$\sqrt{3}$，S₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（4）²=4$\sqrt{3}$，
∴S₁•S₂=12，
故答案为12．

（2）如图2中，设AM=x，BN=y．

∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，
∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，
∴△AMD∽△BDN，
∴$\frac{AM}{BD}$=$\frac{AD}{BN}$，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{4}{y}$，
∴xy=8，
∵S₁=$\frac{1}{2}$•AD•AM•sin60°=$\sqrt{3}$x，S₂=$\frac{1}{2}$DB•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$y，
∴S₁•S₂=$\sqrt{3}$x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$y=$\frac{3}{2}$xy=12．

（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，

同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，
∵S₁=$\frac{1}{2}$•AD•AM•sinα=$\frac{1}{2}$axsinα，S₂=$\frac{1}{2}$DB•BN•sinα=$\frac{1}{2}$bysinα，
∴S₁•S₂=$\frac{1}{4}$（ab）²sin²α．

Ⅱ如图4中，设AM=x，BN=y，

同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，
∵S₁=$\frac{1}{2}$•AD•AM•sinα=$\frac{1}{2}$axsinα，S₂=$\frac{1}{2}$DB•BN•sinα=$\frac{1}{2}$bysinα，
∴S₁•S₂=$\frac{1}{4}$（ab）²sin²α．

点评 本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式．锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．