Question

先阅读短文，再回答短文后面的问题．
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
下面根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程．
如上图，建立直角坐标系xoy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合．设|KF|=p（p＞0），那么焦点F的坐标为（

p

2

，0），准线l的方程为x=-

p

2

．
设点M（x，y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d，由抛物线的定义，抛物线就是满足|MF|=d的点M的轨迹．
∵|MF|=

(x- p 2 )2+y2

，d=|x+

p

2

|∴

(x- p 2 )2+y2

=|x+

p

2

|
将上式两边平方并化简，得y²=2px（p＞0）①
方程①叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是（

p

2

，0），它的准线方程是x=-

p

2

．
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同．所以抛物线的标准方程还有其它的几种形式：y²=-2px，x²=2py，x²=-2py．这四种抛物线的标准方程，焦点坐标以及准线方程列表如下：

标准方程	交点坐标	准线方程
y2=2px（p＞0）	（ p 2 ，0）	x=- p 2
y2=-2px（p＞0）	（- p 2 ，0）	x= p 2
x2=2py（p＞0）	（0， p 2 ）	y=- p 2
x2=-2py（p＞0）	（0，- p 2 ）	y=- p 2

解答下列问题：
（1）①已知抛物线的标准方程是y²=8x，则它的焦点坐标是

 

，准线方程是

 

②已知抛物线的焦点坐标是F（0，-6），则它的标准方程是

 

．
（2）点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程．
（3）直线y=

3

x+b经过抛物线y²=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．

Answer 1

分析：（1）根据四种抛物线的标准方程，焦点坐标以及准线方程列表直接求出即可；
（2）由点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1，得出点M到点F的距离与到直线x=-4的距离相等，进而可以求出；
（3）由直线y=

3

x+b经过抛物线y²=4x的焦点，可求出直线解析式，将y=

3

x-

3

与y²=4x联立求出A，B两点的坐标，再利用平面内两点的距离公式求出AB的长度．

解答：解：（1）①∵抛物线的标准方程是y²=8x，
∴y²=2×4x，它的焦点坐标是（

p

2

，0），即（2，0），
准线方程是：x=-

p

2

=-2；
②∵抛物线的焦点坐标是F（0，-6），
∴-

p

2

=-6，p=12，
∴x ²=-2py，
∴x²=-24y；

（2）∵M（x，y）到点F（4，0）的距离比M到直线x=-5的距离小1，
∴点M到点F的距离与到直线x=-4的距离相等，
所以点M的轨迹是以x=-4为准线，以F（4，0）为焦点的抛物线．
显然其顶点是O（0，0），焦参数（焦点到直线的距离）p=4-（-4）=8，
所以点M的轨迹方程是抛物线方程：y²=16x；

（3）∵抛物线y²=4x的焦点是（1，0），
∴直线y=

3

x+b的解析式为：y=

3

x-

3

，
将y=

3

x-

3

与y²=4x联立求出x ₁=3'x ₂=

1

3

，y ₁=2

3

，y ₂=-

2 3

3

，
∴两函数的交点A，B，为（3，2

3

），（

1

3

，-

2 3

3

），
∴线段AB的长为：AB=

(3- 1 3 ) 2+(2 3 + 2 3 3 ) 2

=

16

3

．

点评：此题主要考查了四种抛物线的标准方程，焦点坐标以及准线方程的应用，以及平面内两点之间距离求法等知识，题目综合性较强．