Question

11．问题与探索
问题情境：课堂上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图（1），将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．
操作发现：
（1）将图（1）中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=∠BAC，得到如图（2）所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是菱形．
（2）创新小组将图（1）中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠BAC，得到如图（3）所示的△AC′D，连接DB、C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请证明这个结论．

Answer 1

分析 （1）结论：菱形．首先证明四边形ACEC′是平行四边形，再由AC=AC′即可证明结论．
（2）如图3中，过点A作AE⊥C′C于点E，首先证明DC′∥CB，DC′=BC，推出四边形BCC′D是平行四边形，再证明∠BCC′=90⁰即可．

解答 解：（1）结论：菱形．
理由：如图2中，

由题意∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=∠CAC′=∠AC′D
∴AC′∥EC，
∵∠CAC′=∠AC′D，
∴AC∥EC′，
∴四边形ACEC′是平行四边形，
∵AC=AC′，
∴四边形ACEC′是菱形．

（2）如图3中，过点A作AE⊥C′C于点E，

由旋转的性质，得AC′=AC，
∴∠CAE=∠C′AE=$\frac{1}{2}$α=∠ABC，∠AEC=90°，
∵BA=BC，
∴∠BCA=∠BAC
∴∠CAE=∠BCA，
∴AE∥BC．
同理，AE∥DC′，
∴BC∥DC′，
又∵BC=DC′，
∴四边形BCC′D是平行四边形，
又∵AE∥BC，∠AEC=90°，
∴∠BCC′=180⁰-90⁰=90⁰
∴四边形BCC′D是矩形．

点评 本题考查四边形综合题．矩形的判定和性质、菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．