Question

如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC，CD上不与C重合的点，且△ECF为等腰三角形，设△AEF的面积为y，EC的长为x．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x取何值时，y取得最大值？最大值是多少？

Answer 1

解：（1）∵△ECF为等腰三角形，
∴FC=EC=x，
∴DF=4-x，BE=4-x，
S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ECF-S_△ADF-S_△ABE，
=4²-x²-×4（4-x）-×4（4-x），
=16-x²-8+2x-8+2x，
=-x²+4x；
∵0＜EC≤CD，
∴0＜x≤4，
∴y=-x²+4x（0＜x≤4）；

（2）∵y=-x²+4x=-（x²-8x+16）+8=-（x-4）²+8，
∴x=4时，y有最大值，为8．
分析：（1）根据等腰三角形求出FC=EC=x，然后表示出DF、BE，再根据S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ECF-S_△ADF-S_△ABE，然后列式整理即可得解；
（2）利用二次函数的最值问题解答．
点评：本题考查了二次函数的应用，正方形的性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值问题，读懂题目信息，观察出△AEF的面积表示是解题的关键．