Question

已知：关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax²?bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1．
【小题1】（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；
【小题2】（2）求代数式的值；
【小题3】（3）求证：关于x的一元二次方程ax²?bx+c="0" ②必有两个不相等的实数根．

Answer 1

【小题1】解：（1）解：由kx=x+2，得（k-1）x=2．
依题意k-1≠0．∴．     ……………………………………1分
∵方程的根为正整数，k为整数，∴k-1=1或k-1=2．
∴k₁= 2，k₂=3．        …………………………………………………2分
【小题2】（2）解：依题意，二次函数y=ax²-bx+kc的图象经过点（1，0），
∴ 0 =a-b+kc， kc = b-a．
∴ = …3分
【小题3】（3）证明：方程②的判别式为Δ=（-b）²-4ac= b²-4ac．  由a≠0，c≠0，得ac≠0．
证法一：
（i）若ac<0，则-4ac>0．故Δ=b²-4ac>0．此时方程②有两个不相等的实数根．……4分
（ii）若ac>0，由（2）知a-b+kc =0，故b=a+kc．
Δ=b²-4ac= （a+kc）²-4ac=a²+2kac+（kc）²-4ac = a²-2kac+（kc）²+4kac-4ac
=（a-kc）²+4ac（k-1）．    …………………………………………………5分
∵方程kx=x+2的根为正实数，∴方程（k-1）x=2的根为正实数．
由x>0， 2>0，得k-1>0．              …………………………………6分
∴ 4ac（k-1）>0．  ∵（a-kc）²³0，
∴Δ=（a-kc）²+4ac（k-1）>0．此时方程②有两个不相等的实数根． …………7分
证法二：
（i）若ac<0，则-4ac>0．故Δ=b²-4ac>0．此时方程②有两个不相等的实数根．……4分
（ii）若ac>0，∵抛物线y=ax²-bx+kc与x轴有交点，
∴Δ₁=（-b）²-4akc =b²-4akc³0． 
（b²-4ac）-（ b²-4akc）=4ac（k-1）．    由证法一知k-1>0，
∴b²-4ac> b²-4akc³0．
∴Δ= b²-4ac>0．此时方程②有两个不相等的实数根．  …………………7分
综上，方程②有两个不相等的实数根．
证法三：由已知，，∴
可以证明和不能同时为0（否则），而，因此．

解析