Question

如图，在等腰△ABP中，PA=PB，点D、E分别为AP、AB边上的点，点C、F都在BP边长，且DC∥AB，DA=DC，∠EDF=

1

2

∠ADC．
（1）若F在BC边上时，求证：AE+CF=EF；
（2）若F在BC延长线上时，请写出AE、CF、EF的数量关系，并给出证明；
（3）若F在BC边上时，且AD=DC=1，AB=2，则△BEF的最大面积为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）延长EA至G，使AG=CF，连接GD，由条件可以证明△AGD≌△CFD，就有GD=FD，∠ADG=∠CDF，进而证明就可以得出结论；
（2）在EA上取一点M使AM=CF，由条件可以得出△ADM≌△CDF，就可以得出DM=DF，再证明△EDF≌△MDE就可以得出EF=ME，进而就可以得出结论；
（3）由条件AD=DC=1，AB=2及DC∥AB就可以得出△PAB为等边三角形，就有∠B=60°，作FH⊥AB于H，当设BF=x，AE=y，由三角形的面积公式就可以求出结论．

解答：（1）证明：如图，

延长EA至G，使AG=CF，连接GD，
∵PA=PB，DC∥AB，
∴∠PAB=∠PBA，∠PCD=∠PBA，
∴∠PAB=∠PCD，
∴∠DAG=∠DCF，
又∵DA=DC，
∴△AGD≌△CFD．
∴GD=FD，∠ADG=∠CDF，
∵∠EDF=

1

2

∠ADC，
∴∠GDE=∠ADG+∠ADE=∠CDF+∠ADE=

1

2

∠ADC，
∴∠EDF=∠GDE，DE=DE，
∴△GDE≌△FDE．
∴EF=GE=AG+AE=CF+AE．
（2）EF=AE-CF．
如图

在AE上取一点M使AM=CF，
∵PA=PB，DC∥AB，
∴∠PAB=∠PBA，∠PCD=∠PBA，
∴∠PAB=∠PCD，
又∵DA=DC，
∴△ADM≌△CDF，
∴DM=DE，∠ADM=∠CDF，
∵∠EDF=

1

2

∠ADC，
∴∠MDE=∠MDF-∠EDF=∠MDC+∠CDF-∠EDF=∠MDC+∠ADM-∠EDF=∠ADC-

1

2

∠ADC=

1

2

∠ADC，
∴∠MDE=∠EDF，
又DE=DE，
∴△EDF≌△MDE
∴EF=ME=AE-AM=AE-CF．
（3）如图，

∵AD=DC=1，AB=2，DC∥AB，
DC为△PAB的中位线，
∴△PAB为等边三角形，
∴∠B=60°，
作FH⊥AB于H，设BF=x，AE=y，
S_△BEF=

1

2

（2-y）×

3

2

x，
当x=1时，y=1，S_△BEF最大为

3

4

．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．