练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2013•太原）综合与探究：
    如图，抛物线y=
    1
    4
    x2-
    3
    2
    x-4与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
    （1）求点A，B，C的坐标．
    （2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．
    （3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据坐标轴上点的特点，可求点A，B，C的坐标．
    （2）由菱形的对称性可知，点D的坐标，根据待定系数法可求直线BD的解析式，根据平行四边形的性质可得关于m的方程，求得m的值；再根据平行四边形的判定可得四边形CQBM的形状；
    （3）分DQ⊥BD，BQ⊥BD两种情况讨论可求点Q的坐标．
    解答：解：（1）当y=0时，
    1
    4
    x2-
    3
    2
    x-4=0，解得x1=-2，x2=8，
    ∵点B在点A的右侧，
    ∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（8，0）．
    当x=0时，y=-4，
    ∴点C的坐标为（0，-4）．

    （2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．
    设直线BD的解析式为y=kx+b，则
    b=4
    8k+b=0
    ，
    解得k=-
    1
    2
    ，b=4．
    ∴直线BD的解析式为y=-
    1
    2
    x+4．
    ∵l⊥x轴，
    ∴点M的坐标为（m，-
    1
    2
    m+4），点Q的坐标为（m，
    1
    4
    m2-
    3
    2
    m-4）．
    如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，
    ∴（-
    1
    2
    m+4）-（
    1
    4
    m2-
    3
    2
    m-4）=4-（-4）．
    化简得：m2-4m=0，
    解得m1=0（不合题意舍去），m2=4．
    ∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形．
    此时，四边形CQBM是平行四边形．
    解法一：∵m=4，
    ∴点P是OB的中点．
    ∵l⊥x轴，
    ∴l∥y轴，
    ∴△BPM∽△BOD，
    ∴
    BP
    BO
    =
    BM
    BD
    =
    1
    2
    ，
    ∴BM=DM，
    ∵四边形CQMD是平行四边形，
    ∴DM
    ∥
    .
    CQ，
    ∴BM
    ∥
    .
    CQ，
    ∴四边形CQBM是平行四边形．

    解法二：设直线BC的解析式为y=k1x+b1，则
    b1=-4
    8k1+b1=0
    ，
    解得k1=
    1
    2
    ，b1=-4．
    故直线BC的解析式为y=
    1
    2
    x-4．
    又∵l⊥x轴交BC于点N，
    ∴x=4时，y=-2，
    ∴点N的坐标为（4，-2），
    由上面可知，点M的坐标为（4，2），点Q的坐标为（4，-6）．
    ∴MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4，
    ∴MN=QN，
    又∵四边形CQMD是平行四边形，
    ∴DB∥CQ，
    ∴∠3=∠4，
    ∵在△BMN与△CQN中，
    ∠3=∠4
    MN=QN
    ∠1=∠2
    ，
    ∴△BMN≌△CQN（ASA）
    ∴BN=CN，
    ∴四边形CQBM是平行四边形．

    （3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（-2，0），Q2（6，-4）．
    若△BDQ为直角三角形，可能有三种情形，如答图2所示：

    ①以点Q为直角顶点．
    此时以BD为直径作圆，圆与抛物线的交点，即为所求之Q点．
    ∵P在线段EB上运动，∴-8≤xQ≤8，而由图形可见，在此范围内，圆与抛物线并无交点，
    故此种情形不存在．
    ②以点D为直角顶点．
    连接AD，∵OA=2，OD=4，OB=8，AB=10，
    由勾股定理得：AD=2
    		5
    ，BD=4
    		5
    ，
    ∵AD2+BD2=AB2，∴△ABD为直角三角形，即点A为所求的点Q．
    ∴Q1（-2，0）；
    ③以点B为直角顶点．
    如图，设Q2点坐标为（x，y），过点Q2作Q2K⊥x轴于点K，则Q2K=-y，OK=x，BK=8-x．
    易证△QKB∽△BOD，
    ∴
    Q2K
    OB
    =
    BK
    OD
    ，即
    -y
    8
    =
    8-x
    4
    ，整理得：y=2x-16．
    ∵点Q在抛物线上，∴y=
    1
    4
    x2-
    3
    2
    x-4．
    ∴
    1
    4
    x2-
    3
    2
    x-4=2x-16，解得x=6或x=8，
    当x=8时，点Q2与点B重合，故舍去；
    当x=6时，y=-4，
    ∴Q2（6，-4）．
    点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的特点，菱形的对称性，待定系数法求直线的解析式，平行四边形的判定和性质，方程思想和分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•太原）四川雅安发生地震后，某校九（1）班学生开展献爱心活动，积极向灾区捐款．如图是该班同学捐款的条形统计图．写出一条你从图中所获得的信息：
    该班有50人参与了献爱心活动
    该班有50人参与了献爱心活动
    ．
    （只要与统计图中所提供的信息相符即可得分）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•太原）如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9m，AB=36m，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为
    48
    48
    m．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•太原）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．
    （1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
    ①作∠DAC的平分线AM． ②连接BE并延长交AM于点F．
    （2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•太原）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A重合），过点P作AB的垂线交BC于点Q．
    （1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
    （2）若cosB=
    35
    ，BP=6，AP=1，求QC的长．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案