Question

（2010•下城区模拟）矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0）、C（0，3），直线与BC边相交于点D．
（1）若抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；
（2）若以点A为圆心的⊙A与直线OD相切，试求⊙A的半径；
（3）设（1）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，在对称轴上是否存在点Q，以Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似？若存在，试求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出D点坐标，再把A、D两点坐标代入抛物线y=ax²+bx联立求解即可；
（2）过A作AH⊥OD于H，求出AH的长即是⊙A的半径；
（3）假设存在，当OQ⊥QM时存在Q₁，当OQ⊥OM时存在Q₂，通过计算验证判断是否存在．
解答：解：（1）由得D点的坐标为D（4，3）
抛物线y=ax²+bx经过D（4，3）、A（6，0），可得

（2）∵CD=4，OC=3，OD=，sin∠CDO=，
过A作AH⊥OD于H，
则AH=OAsin∠DOA=6×==3.6
∴当直线OD与⊙A相切时，r=3.6

（3）设抛物线的对称轴与x轴交于点Q₁，则点Q₁符合条件
∵CB∥OA，
∴∠Q₁OM=∠ODC，
∴Rt△Q₁OM∽Rt△CDO
∵对称轴x=，
∴Q₁点的坐标为Q₁（3，0）．
又过O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点Q₂，则点Q₂也符合条件
∵对称轴平行于y轴，
∴∠Q₂MO=∠DOC，
∴Rt△Q₂MO∽Rt△DOC
在Rt△Q₂Q₁O和Rt△DCO中，Q₁O=CO=3，
∠Q₂=∠ODC，
∴Rt△Q₂Q₁O≌Rt△DCO，
∴CD=Q₁Q₂=4，
∵Q₂位于第四象限，∴Q₂（3，-4）．
因此，符合条件的点有两个，分别是Q₁（3，0），Q₂（3，-4）．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、数形结合的数学思想方法，综合性强，能力要求高．