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【题目】RtABC中,BC=4AC=8,点DAB的中点,PAC边上一动点.BDP沿着PD所在的直线翻折,点B的对应点为E

1)若PDAB,求AP

2)若PDEABC重合部分的面积等于PAB面积的,求AP的长.

【答案】1AP=52AP=62

【解析】

试题分析:1)如图1,根据勾股定理可求出AB,从而得到ADBD的值,易证ADP∽△ACB,只需运用相似三角形的性质就可求出AP的值;

2)根据条件可得SPDF=SPAB=SADP=SEDP,从而可得AF=PFEF=DF.而符合条件的位置有两个(图3、图4),需分两种情况讨论:如图3,根据三角形中位线定理可得DFBP,则有EDP=BPD.由折叠可得BDP=EDP,从而可得BDP=BPD,即可得到BP=BD=2,在RtBCP中运用勾股定理可求出PC,就可得到AP的值;如图4,连接AE,由AF=PFEF=DF可得四边形AEDP是平行四边形,则有AP=ED,由折叠可得DE=DB,即可得到AP=DB=2

解:(1)如图:∵∠C=90°BC=4AC=8

AB=4

DAB的中点,

AD=DB=2

PDAB

∴∠ADP=90°

∵∠A=AADP=C

∴△ADP∽△ACB

AP=5

2D是线段AB的中点,

SADP=SBDP=SPAB

由折叠可得:SEDP=SBDP

SPDF=SPAB=SADP=SEDP

AF=PFEF=DF

如图3

根据三角形中位线定理可得:DFBP

∴∠EDP=BPD

由折叠可得BDP=EDP

∴∠BDP=BPD

BP=BD=2

PC=

AP=8﹣2=6

如图4

连接AE

AF=PFEF=DF

四边形AEDP是平行四边形,

AP=ED

由折叠可得:DE=DB

AP=DB=2

综上所述:AP=62

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