Question

14．有一边长为4的等腰三角形，它的另两边长是方程x²-10x+k=0的两根，求这个三角形的面积．

Answer 1

分析 设方程x²-10x+k=0的两根为a、b，根据一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到a+b=10，然后讨论：当a和b为腰，即a=b，则a=b=5，求出底边上的高，即可得出三角形的面积；当a为腰，b为底边：a=4，则b=6；b=4，则a=6；求出底边上的高，即可得出三角形的面积．

解答 解：设方程x²-10x+k=0的两根为a、b，
∴a+b=10，
而a、b是一边为3的等腰三角形的两边长，
当a和b为腰，即a=b，则a=b=5，
由勾股定理得：底边上的高=$\sqrt{{5}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∴三角形的面积=$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{21}$=2$\sqrt{21}$；
当a为腰，b为底边：
①a=4，则b=6，
由勾股定理得：底边上的高=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴三角形的面积=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{7}$=3$\sqrt{7}$；
②b=4，则a=6，
由勾股定理得：底边上的高=$\sqrt{{6}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴三角形的面积=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$．
综上所述，这个三角形的面积为2$\sqrt{21}$或3$\sqrt{7}$或8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、等腰三角形的性质、三角形面积的计算；熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，注意分类讨论．