Question

（2013•响水县一模）如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D
（1）试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；
（2）若点E在AB上，且DE=DC，当AB=3，AC=5时，求线段AE长．

Answer 1

分析：（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD=DF等于半径，得出AC是⊙D的切线．
（2）首先证明Rt△ABD≌Rt△AFD可得AB=AF=3，进而得到FC=2，再证明Rt△EBD≌Rt△CFD进而得到EB=FC，继而得到AE=1．

解答：解：（1）AC与⊙D相切；
理由如下：
过点D作DF⊥AC于F；
∵AB为⊙D的切线，AD平分∠BAC，
∴BD=DF，
∴AC为⊙D的切线；

（2）∵在Rt△ABD和Rt△AFD中

AD=AD DB=DF

，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），
∴AB=AF=3，
∵AC=5，
∴FC=2，
∵在Rt△EBD和Rt△CFD中

ED=DC DB=DF

，
∴Rt△EBD≌Rt△CFD（HL），
∴EB=FC=2，
∴AE=3-2=1．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及切线的判定，关键是掌握全等三角形的判定与性质定理．