Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，AC=13，BC=5，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠BCA=∠BAD；
（2）求DE的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,圆内接四边形的性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）根据BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由∠BCA=∠BDA即可得出结论；
（2）判断△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度．

解答：（1）证明：∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），
∴∠BCA=∠BAD．

（2）解：在Rt△ABC中，
∵AC=13，BC=5，
∴AB=

AC2-BC2

=12，
∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理）且∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，
∴

BD

AC

=

DE

AB

，即

12

13

=

DE

12

，
解得：DE=

144

13

．

点评：本题考查了切线的判定及圆周角定理的知识，综合考查的知识点较多，解答本题要求同学们熟练掌握一些定理的内容．