Question

如图1、图2，已知菱形ABCD，∠B=60°，M、N分别是BC、CD上一点，连接AM、AN．
（1）如图1，当M、N分别是BC、CD中点时，求证：AM=AN；
（2）如图2，当BM=CN时，求∠MAN的度数；
（3）如图3，若将条件改为：已知菱形ABCD，∠B=α°（∠B是锐角，α是常数），M是线段BD上一点，N是直线CD上一点，设∠BAM=x°，∠DAN=y°．探究并说明当x、y满足怎样的数量关系时，线段AM=AN．

Answer 1

解：（1）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AC，AC平分∠BCD，
又∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵M是BC中点，
∴AM⊥BC，
同理：AN⊥CD，
∴AM=AN；

（2）连AC，由（1）得△ABC和△ACD是等边三角形，
∴AC=AB，∠ACD=∠B=∠BAC=60°，
又∵BM=CN，
∴△ABM≌△ACN，
∴∠BAM=∠CAN，
∵∠BAM+∠CAM=∠BAC=60°，
∴∠CAN+∠CAM=60°，
即∠MAN=60°；

（3）当x=y或x+y=180-2α时，线段AM=AN，
解法1：①如图3，因为菱形ABCD关于直线AC轴对称，显然当DN=BM时，△ABM≌△ADN，
得AM=AN，∠BAM=∠DAN，即x=y，
（此时AN与AM关于直线AC轴对称）
②如图4，若AN=AM，且AN不是AM关于直线，
AC轴对称线段时，作DN₁=BM，
由①得∠DAN₁=∠BAM=x°，AM=AN₁，
∴AN=AN₁，
∴∠ANN₁=∠AN₁N=∠DAN₁+∠D=x°+α°，
∴∠NAN₁=180°-2（x°+α°），
∴∠DAN=∠NAN₁+∠DAN₁=180°-2（x°+α°）+x°，
即y=180°-2（x°+α°）+x°，
整理得：x+y=180-2α．
解法2：①如图3，当x=y时，∠BAM=∠DAN，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠ADC，
∴△ABM≌△ADN，
∴AM=AN．
②如图5，当x+y=180-2α时，
即∠BAM+∠DAN=180°-2∠B，
作AE⊥BC于E，作AF⊥CD于F，连AC，
得∠EAF+∠BCD=180°，AC平分∠BCD，
∴AE=AF，
∵∠B+∠BCD=∠B+∠BAD=180°，
∴∠EAF=∠B=α°，
∠BAM+∠DAN+∠MAN=180°-∠B，
∵∠BAM+∠DAN=180°-2∠B，
∴∠MAN=∠B=α°，
∴∠EAF=∠MAN，
∴∠MAE=∠NAF，
∴△AME≌△ANF，
∴AM=AN．

分析：（1）首先连接AC，由四边形ABCD是菱形，即可得AB=BC=CD=AC，AC平分∠BCD，又由∠B=60°，证得△ABC是等边三角形，由三线合一，即可得AM⊥BC，同理AN⊥CD，即可得AM=AN；
（2）连AC，由（1）得△ABC和△ACD是等边三角形，则可证得△ABM≌△ACN，即可求得∠MAN的度数；
（3）①如图3，由菱形ABCD关于直线AC轴对称，显然当DN=BM时，△ABM≌△ADN，得AM=AN，∠BAM=∠DAN，即x=y，注意此时AN与AM关于直线AC轴对称；又由②如图4，若AN=AM，且AN不是AM关于直线，AC轴对称线段时，作DN₁=BM，由①得∠DAN₁=∠BAM=x°，AM=AN₁，则可得∠DAN=∠NAN₁+∠DAN₁=180°-2（x°+α°）+x°，整理即可得：x+y=180-2α．
点评：此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．