Question

如图，四边形ABCD为菱形，点A、B在x轴上，点C在y轴上．已知A（-4，0），C（0，3）．反比例函数y=

k

x

（x＜0）的图象经过点CD的中点E．
（1）求AB的长；
（2）求k的值；
（3）若反比例函数y=

k

x

（x＜0）的图象经过AC的中点，则k=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）设AB=x，可得OB=4-x，BC=x，在Rt△BOC中只需运用勾股定理即可求出AB的长；
（2）只需求出DC中点E的坐标就可求出k的值；
（3）只需求出AC中点的坐标就可求出k的值．

解答：解：（1）∵A（-4，0），C（0，3），
∴OA=4，OC=3．
∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC．
设AB=x，则OB=4-x，BC=x．
在Rt△BOC中，BO²+CO²=BC²，
则（4-x）²+3²=x²，
解得：x=

25

8

，
即AB=

25

8

．

（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴DC∥AB，且DC=AB=

25

8

．
∵点E是CD的中点，
∴EC=

1

2

DC=

25

16

，
∴E（-

25

16

，3）．
∵反比例函数y=

k

x

（x＜0）的图象经过点E，
∴3=

k

- 25 16

，
∴k=-

75

16

．

（3）设AC的中点为F，
∵A（-4，0），C（0，3），
∴F（-2，

3

2

）．
∵反比例函数y=

k

x

（x＜0）的图象经过AC中点F，
∴

3

2

=

k

-2

，
∴k=-3．
故答案为：-3．

点评：本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、勾股定理等知识，运用勾股定理是解决第（1）小题的关键，求出点E的坐标是解决第（2）小题的关键，求出AC中点的坐标是解决第（3）小题的关键．