Question

如图，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm．有两个动圆；大圆半径为4cm，向右平移，圆心从B点开始，至C点结束；小圆半径为3cm，向左平移，圆心从D点开始，至A点结束．若两圆同时开始移动，且速度均为1cm/s，
（1）经过多少秒两圆出现第一次外切？
（2）经过多少秒，两圆的公共部分面积最大？最大面积约为多少平方厘米？（精确到0.01cm²）

Answer 1

考点：圆与圆的位置关系

专题：计算题

分析：（1）设经过x秒两圆出现第一次外切，如图1，设⊙E与⊙F外切于点N，过点E作EG⊥BC于点G，连接EF，则EN=3cm，FN=4cm，AB=5cm，利用勾股定理计算出FG=2

6

，设BF=x，AE=10-x，10-x=x+2

6

，然后解方程即可；
（2）当EF⊥BC时，两圆的公共部分面积最大．由于BF=DE，则BF=

1

2

BC=5，即经过5秒时，两圆的公共部分面积最大，如图2所示，MN为公共弦，EF与MN交于T点，设ET=a，则TF=5-a，利用勾股定理得9-a²=16-（5-a）²，解得a=

9

5

，再计算出TF=5-

9

5

=

16

5

，TN=

12

5

，根据垂径定理得MN=2TN=

24

5

，在Rt△ENT中，根据正切的定义求出t∠TEN≈53°，在Rt△FNT中，求出∠TFN≈37°，两圆的公共部分由两个弓形组成，则可根据扇形的面积公式和三角形面积计算两圆的公共部分面积．

解答：解：（1）设经过x秒两圆出现第一次外切，如图1所示：设⊙E与⊙F外切于点N，
过点E作EG⊥BC于点G，连接EF，
∵EN=3cm，FN=4cm，AB=5cm，
∴FG=

72-52

=2

6

，
设BF=x，AE=10-x，
∴10-x=x+2

6

，
∴x=5-

6

，
答：经过5-

6

秒两圆出现第一次外切；

（2）当EF⊥BC时，两圆的公共部分面积最大．
∵BF=DE，
∴E、F分别为AD和BC的中点，
∴BF=

1

2

BC=5，
即经过5秒时，两圆的公共部分面积最大，如图2所示，MN为公共弦，EF与MN交于T点，
设ET=a，则TF=5-a，
∵TN²=EN²-ET²，TN²=FN²-TF²，
∴9-a²=16-（5-a）²，解得a=

9

5

，
∴TF=5-

9

5

=

16

5

，
∴TN=

32-( 9 5 )2

=

12

5

，
∴MN=2TN=

24

5

，
在Rt△ENT中，tan∠TEN=

TN

ET

=

4

3

，则∠TEN≈53°，
在Rt△FNT中，tan∠TFN=

TN

TF

=

3

4

，则∠TFN≈37°，
∴两圆的公共部分面积=

2×53×π×32

360

-

1

2

×

24

5

×

9

5

+

2×37×π×42

360

-

1

2

×

24

5

×

16

5

≈18.17（cm²）．

点评：本题考查了圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d、两圆半径分别为R、r：两圆外离?d＞R+r；两圆外切?d=R+r；两圆相交?R-r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切?d=R-r（R＞r）；两圆内含?d＜R-r（R＞r）．也考查了垂径定理和勾股定理．