Question

如图，在直角坐标系中，点O’的坐标为（2，0），OO’与x轴交于原点O和点A，B、C、E三点的坐标分别为（-1，0），（0，3）和（0，p），且0＜p≤3．
（1）求经过点B、C的直线的解析式；
（2）当点E在线段OC上移动时，直线BE与⊙O'有哪几种位置关系？当P分别在什么范围内取值时，直线BE与⊙O'是这几种位置关系？
（3）设过点A、B、E的抛物线的顶点是D，求四边形ABED的面积的最大或最小值．

Answer 1

解：（1）设B、C点所在直线为：y=kx+b，则有：
?；
∴所求直线为y=3x+3．

（2）直线BE与⊙O′有相离、相切、相交三种位置关系；
设BE切⊙O′于点M，连接O′M，必有∠O′MB=90°，
y轴为过O′O端点O和O′O垂直的直线；
∴当0＜p＜时，BE与⊙O′相交；
p=时相切；＜p≤3时相离．

（3）点A坐标（4，0），设过A、B、E点的抛物线为y=ax²+bx+c，有：

即；
∴抛物线解析式为y=-x²+px+p=-（x-）²+；
∴顶点D（，）；
连接OD，则S_ABED=S_△BOE+S_△OED+S_△ODA
=×1×p+×p×+×4×=；
∵0＜p≤3，
∴p=3时，S_ABED有最大值为．
分析：（1）已知了B、C的坐标，可利用待定系数法求得直线BC的解析式．
（2）直线与圆的位置关系有三种：相切、相交、相离，此题可先求出相切时p的值，然后再分段讨论其他两种情况；当直线BE与⊙O′相切时，设切点为M，连接O′M，在Rt△BO′M中，BO′=3，O′M=2，利用勾股定理可求得BM的长，进而由△BOE∽△BMO′得到的比例线段求出OE的长，也就求出了此时p的值，进而可得到相交和相离时，p的取值范围．
（3）根据圆心O′的坐标及圆的半径可求得A点的坐标，然后根据A、B、E三点坐标，表示出该抛物线的解析式（含p的式子），然后将所得关系式化为顶点坐标式，即可得到顶点D的坐标；由于四边形ABED的面积无法直接求得，可连接OD，将其面积分割成△BOE、△OED、△ODA三部分，可分别求出各部分的面积，进而可得到四边形ABED的面积表达式，然后利用p的取值范围，可求出它的最大（小）面积．
点评：此题考查了用待定系数法确定函数解析式的方法、图形面积的求法、直线与圆的位置关系等知识，难度适中．