Question

如图，点A，B，M的坐标分别为（1，4）、（4，4）和（-1，0），抛物线y=ax²+bx+c的顶点在线段AB（包括线段端点）上，与x轴交于C、D两点，点C在线段OM上（包括线段端点），则点D的横坐标m的取值范围是________．

Answer 1

2≤x≤9
分析：先设抛物线的解析式为：y=a（x-m）²+n，根据y=a（x-m）²+n的顶点在线段AB的A点上且过点O时，点D的横坐标最小，求出此时抛物线的解析式，根据0=-（x-1）²+4得x₁=0，x₂=2，即可求出点D的横坐标最小值是2，根据当抛物线的顶点在B点，且过点M时，点D的横坐标最大，求出此时抛物线的解析式，根据0=a（-1-4）²+4，得x₁=9，x₂=-1，即可求出点D的横坐标最大值是9．
解答：设抛物线的解析式为：y=a（x-m）²+n，
y=a（x-m）²+n的顶点在线段AB的A点上且过点O时，点D的横坐标最小，
把A（1，4）代入得：y=a（x-1）²+4，
把O（0，0）代入得：0=a+4，
解得：a=-4，
即：y=-4（x-1）²+4，
由0=-（x-1）²+4得：
x₁=0，x₂=2，
∴点D的横坐标最小值是2，
当抛物线的顶点在B点，且过点M时，点D的横坐标最大，
把B（4，4）y=a（x-4）²+4，
把M（-1，0）代入得0=a（-1-4）²+4，
解得：a=-，
即：y=-（x-4）²+4，
由0=-（x-4）²+4得：
x₁=9，x₂=-1，
∴点D的横坐标最大值是9，
∴点D的横坐标m的取值范围是 2≤x≤9．
故答案为：2≤x≤9．
点评：本题主要考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．