Question

下列命题：
①若a+b+c=0，则b²-4ac≥0；
②若b＞a+c，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；
③若b=2a+3c，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；
④若b²-4ac＞0，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．
其中正确的是（　　）

• A、只有①②③
• B、只有①③④
• C、只有①④
• D、只有②③④

Answer 1

考点：命题与定理

专题：

分析：①②③利用移项与变形判断出b²-4ac与0的大小关系，第④小题先判断出二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点情况，再加上与y轴的交点个数即可．

解答：解：①若a+b+c=0，则b²=（a+c）²，则b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，故本选项正确；
②若b＞a+c，a+c若与b符号相同，那么b²-4ac＞（a+c）²-4ac=（a-c）²，
∵（a-c）²≥0，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
又∵a+c若与b符号不相同，
则b＞a+c，可能b²＜（a+c）²，
则此时△＜0，
此时方程无实数根，
故本选项错误；
③若b=2a+3c，那么△=b²-4ac=（2a+3c）²-4ac=（2a+2c）²+5c²，
当a≠0，c=-a时，△＞0；当a≠0，c=0时，△＞0；当a≠c≠0时，△＞0，
∴△＞0，
故本选项正确；
④二次函数y=ax²+bx+c与y轴必有一个交点，而这个交点有可能跟图象与x轴的交点重合，故本选项正确．
其中正确的是①③④；
故选B．

点评：此题考查了命题与定理，用到的知识点是一元二次方程根的判别式，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的个数，关键是能根据已知条件通过变形判断出△的符号．