Question

已知四边形ABCD是正方形，M、N分别是边BC、CD上的动点，正方形ABCD的边长为4cm．

（1）如图①，O是正方形ABCD对角线的交点，若OM⊥ON，求四边形MONC的面积；
（2）如图②，若∠MAN=45°，求△MCN的周长．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OB，∠DCO=∠CBO=45°，∠COB=90°，
∵ON⊥OM，
∴∠NOM=90°，
∴∠COB-∠COM=∠NOM-∠COM，
∴∠CON=∠BOM，
∵在△CON和△BOM中

∠NCO=∠MBO OC=OB ∠NOC=∠MOB

，
∴△CON≌△BOM（ASA），
∴S_△NCO=S_△BOM，
∴S_{四边形MONC}
=S_△NOC+S_△COM
=S_△BOM+S_△COM
=S_△COB=

1

4

S_{正方形ABCD}
=

1

4

×4cm×4cm
=4cm²，
答：四边形MONC的面积是4cm²．
（2）
延长CB到Q，使BQ=DN，连接AQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABC=∠ABQ=90°，
∵在△ADN和△ABQ中

AD=AB ∠D=∠ABQ DN=BQ

，
∴△ADN≌△ABQ（SAS），
∴∠DAN=∠BAQ，AN=AQ，
∵∠DAB=90°，∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠BAM=45°，
∴∠BAM+∠QAB=45°，
即∠MAN=∠MAQ，
∵在△MAN和△MAQ中

AN=AQ ∠NAM=∠MAQ AM=AM

，
∴△MAN≌△MAQ，
∴MN=MQ=DN+BM，
∴△MCN的周长是：CN+MN+CM
=CN+DN+BM+CM
=DC+BC
=4cm+4cm
=8cm．