Question

在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，下列结论：①∠FCD=45°，②AE=EC，③S_△ABF：S_△AFC=BD：CD，④若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长．正确的是

1. A.
   ①②
2. B.
   ①③
3. C.
   ①④
4. D.
   ①③④

Answer 1

D
分析：首先在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，由此可以得到∠BAD=45°，接着得到AD=BD，又∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，所以可以证明△BDF≌△ADC，根据全等三角形的性质可以得到FD=CD，进一步得到①；根据三角形面积公式和它们有一条公共边可以得到③；若BF=2EC，根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可得到④．
解答：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，
∴AD⊥BC，而△ABF和△ACF有一条公共边，
∴S_△ABF：S_△AFC=BD：CD，
∴③正确；
∵∠ABC=45°，
∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，
而∠ADB=∠ADC=90°，
∴△BDF≌△ADC，
∴FD=CD，
∴∠FCD=∠CFD=45°，
∴①正确；
若BF=2EC，根据①得BF=AC，
∴AC=2EC，
即E为AC的中点，
∴BE为线段AC的垂直平分线，
∴AF=CF，BA=BC，
∴AB=BD+CD=AD+CD=AF+DF+CD=CF+DF+CD，
即△FDC周长等于AB的长，
∴④正确．
故选D．
点评：此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．